Kalkulus

Aturan Rantai

Bayangkan usaha kita untuk mencari turunan dari:

F ( X ) = (2x² – 4x + 1)⁶⁰

Pertama kita harus mengalikan bersama 60 faktor –faktor kuadrat dari 2x² – 4x + 1 kemudian mendiferensialkan polinom derajat 120 yang dihasilkan .

Untungnya, ada cara yang lebih baik, stelah kita memepelajari pelajaran ini, kita akan mampu menuliskan jawabanya

F ( X ) = 60(2x² – 4x + 1)⁵⁹ ( 4x – 4)

Secepat kita menggerakan pencil kita, sebenarnya, aturan rantai ini begitu penting bagi kita, sehingga kita tidak perlu lagi mendiferensialkan suatu fungsi tanpa memakainya, tetapi agar dapat menyatakan aturan tersebut seagai mana mestinya, kita perlu memperkenalkan suatu terobosan pada cara penulisan .D kita.

Cara penulisan D_x

Jika suatu masalah menyangkut suatu peubah,akan sangat membantu untuk mempunyai sarana penulisan untuk menunjukan peubah mana yang sedang ditinjau pada suatu saat tertentu. Jadi jka sin s² x³ dan kita ingin memerlukan x sebagai sebagai peubah bebas dan s sebagai konstanta, maka dengan menulis D_xy akan memperoleh

D_xy = D_x(s² x³ ) = s² D_x( x³) = s²_.3x²

lambang D_xy dapat dibaca sebagai turunaan y terhadap x

Lebih penting adalh conth berikut. Anadaikan y = u⁶⁰ dan u = 2x² – 4x + 1 maka D_uy = 60u⁵⁹ dan D_xu = 4x-4. tetapi perhatikan bahwa bilama kita mengantikan u=2x² – 4x + 1 dalam y = u⁶⁰, kita peroloeh

Y=(2x² – 4x + 1)⁶⁰

Dengan demikian adalah beralasan untuk menanyakan apa dan bagaimana D_xy ini dikaitkan D_uy dau D_xU? Secara lebih umum bagaiman diferensialkan suatu fungsi komposit?

Pendeferensiallan Fungsi komposit

jika tina dapat mengetik 2 kali lebih cepat dari mona dan mona mengetik 3 kali lebih cepat dari pada toni jadi tina dapat mengetik 2.3 = 6 kali lebih cepat dari pada toni .kedua laju tersebut dikalikan .

andaikan bahwa

y = F( u ) dan u = g( x )

menentukan fungsi komposit y = f (g(x) ). Karena statu tirunaan menunjukan lju perubahan, kita dapat mengatakan bahwa

y berubah D_uy kali secepat u

u berubah D_xu kali secepat _x

Mungkin akan menolong kita untuk mengingatnya begini

D_xy = D_uy D_xu

Dengan berpikir seperti ini, kita akan mengalami kesukaran melihat bahwa jika

W= f(s) dan s = g(t)

Maka

D_tw= D_sw D_ts

Penerapan aturan Rantai kita mulai dengan contoh (2x² – 4x + 1)⁶⁰ yang dikenalkan pada permulaan bab ini

Contoh jika y=(2x² – 4x + 1 )⁶⁰, cari D_xy.

Cara penyelesaian nya y = u ⁶⁰ dan u = 2x² – 4x + 1

D_x = D_uy .D_xu

= ( 60u⁵⁹)(4x -4)

= 60(2x² – 4x + 1)⁵⁹(4x -4)

Aturan rantai bersusun

Andaikan

Y =f (u) dan u = g(v) dan v = h(x)

Maka

D_xy = D_u y D_vu D_xv

Contoh cari D_x[sin ³ (4x)]

Penyelesaian nya ádalah pikirkan ini unuk mencari D_xy dimana

Y= u³ dan u = sin (v) dan v = 4x

Maka

D_xy = D_u y.D_vu.D_xv

= 3u².cos v.4

= 3 sin ² (4x) .cos (4x) .4

= 12 sin ₂(4x) cos (4x)

Sumber : Edwin j.purcell dale varberg.